Обсуждение:Интеграл Лебега

Untitled

Читаю:

• Так как $\,|f(x)|=f^{+}(x)+f^{-}(x)$, функция $\,f(x)$ интегрируема по Лебегу тогда и только тогда, когда функция $\,|f(x)|$ интегрируема по Лебегу. Это свойство не выполняется в отношении интеграла Римана;

Оба предложения, на мой взгляд, неверны.

1. Из того, что $\,|f|$ интегрируема, следует интегрируемость $\,f$, но лишь в предположении измеримости $\,f$; иначе несложно привести контрпример. А в обратную сторону утверждение верно. Или у нас все функции в этой статье измеримые?

2. Для интеграла Римана это свойство выполняется в той же степени, что и для интеграла Лебега. То есть только в одну сторону. Может быть, имелся в виду несобственный интеграл Римана? --a_dergachev 16:01, 15 сентября 2007 (UTC)

Конечно при обсуждении интегрируемости предполагается, что функция $f$ измерима. Можно вставить слово "измеримое" для устранения неоднозначности.

Измеримая функция может быть неинтегрируема по Риману, а её модуль интегрируем. ПБХ 16:31, 15 сентября 2007 (UTC)

Хорошо, идея понятна. Но мне рассмотрение такой формулировки для интеграла Римана кажется странным. Предлагаю здесь разделить прямое и обратное утверждение. "Если функция интегрируема, то модуль тоже интегрируем" - это важнейшее свойство абсолютности, отделяющее интеграл Лебега от более крутых интегралов и обеспечивающее естественность его конструкции; обратное же утверждение носит скорее искусственный характер. --a_dergachev 08:17, 17 сентября 2007 (UTC)

Не против. Напишите. ПБХ 14:53, 17 сентября 2007 (UTC)

• Убрано, слепой. Монстрик 05:45, 30 мая 2008 (UTC)

• Господа, если используете понятие "измеримая функция", то будьте добры либо ввести его, либо дать ссылку. 94.193.53.206 16:49, 2 апреля 2013 (UTC)

• Убрал глупость по поводу равносильности измеримости функции и ее модуля и смотрю: меня дико заминусовали. Пример-то там очевидный: $f(x)=2\chi _{A}(x)-1$, где А - ниеизмеримое по Лебегу множество, а $\chi _{A}(x)$ - его характеристическая функция. Алексей

Сравнительная иллюстрация интеграла Римана и Лебега

Горизонтальные полосы на диаграмме, относящейся к интегралу Лебега, насколько я понимаю, не имеют никакой аналогии с реальным понятием. Интеграл Лебега это всё равно "сумма вертикальных столбцов", только столбцы/разбиение выбирается не на области определения, а на области значений. Прямоугольники, расположенные горизонтально, сбивают с толку. 46.188.7.171 21:54, 28 сентября 2012 (UTC) Григорий

+100500 Это же какая-то явная неправда. uhbif19 18:39, 3 марта 2013 (UTC)

Верно, это просто смысловая галлюцинация, хотя выглядит заманчиво. От неё лишь вред. А вот у немцев правильная картинка:

mclaudt 00:43, 14 июня 2013 (UTC)